Question

复变函数是否连续

Answer 1

帮你解第24题。

连续就意味着f(z)在z=0处的二重极限存在且为0，但是因为二重极限的要求很苛刻，所以我们首先希望这个极限不存在，因此下面就要举反例。只要能够找到两个不同的路径，使得f(z)沿着这两条路径向0收敛的过程中取得了不同的极限，就能达到目的。下面就来寻找这样的路径。

设x=C*y^p，其中p>0，那么当y趋于0时，x也趋于0，因此z趋于0.

那么

为了让极限与路径有关，我们令p=3，那么以上极限化为

因此极限值与C的值有关，即与路径有关，所以f(z)在z=0处没有极限，因此在z=0处不连续。

Answer 2

(1)因为任何一个复数都是有模的，所以w的定义域是整个复平面。

对于连续性，因为w=|z|=sqrt(x^2+y^2)+0*i，所以实部和虚部都是连续函数，因此w是连续函数。

(2)这是一个分式函数。根据分式函数的特殊性，函数有意义的充要条件是分母不为0，这也是分式函数连续的充要条件。要使得分母不为0，当且仅当

即除了这两个点以外的其他区域是w的定义域，且w在整个定义域上连续。