Question

已知椭圆x²/2+y²=1上有两个不同点A， B关于l：y=mx+1/2对称（1）求m的范围

已知椭圆x²/2+y²=1上有两个不同点A， B关于l：y=mx+1/2对称（1）求m的范围（2）求三角形AOB的面积的最大值
拜托不要用均值不等式来解，还没学这个，谢谢~

Answer 1

解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=-my+n，代入椭圆方程
x2
2
+y2=1，可得（m2+2）y2-2mny+n2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2-4（m2+2）（n2-2）=8（m2-n2+2）＞0，
设线段AB的中点P（x0，y0），则y0=
y1+y2
2
=
mn
m2+2
．x0=-m×
mn
m2+2
+n=
2n
m2+2
，
由于点P在直线y=mx+
1
2
上，∴
mn
m2+2
=
2mn
m2+2
+
1
2
，
∴n=-
m2+2
2m
，代入△＞0，可得3m4+4m2-4＞0，
解得m2＞
2
3
，∴m＜-
6
3
或m＞
6
3
．
（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，
∴S△OAB=
1
2
|n||y1-y2|=
1
2
|n|••
8(m2-n2+2)
m2+2
=
2
n2(m2-n2+2)
(m2+2)2
，
由均值不等式可得：n2（m2-n2+2）≤(
n2+m2-n2+2
2
)2=
(m2+2)2
4
，
∴S△AOB≤
2
×
1
4
=
2
2
，当且仅当n2=m2-n2+2，即2n2=m2+2，又∵n=-
m2+2
2m
，解得m=±
2
，
当且仅当m=±
2
时，S△AOB取得最大值为
2
2