Question

一道高二函数数列综合题

方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)=x/a(x+2)有唯一不动点，且x1=1000,x(n+1)=1/f(1/xn),n=1,2,3… 求x2011的值

过程，谢谢。
注:f(x)的括号x代表自变量，x(n+1)以及xn代表数列中的第n+1项和第n项

Answer 1

依题意，方程f(x)=x 即方程ax²+x（2a-1)=0有唯一解
显然a≠0
所以2a-1=0 a=1/2
∴f（x）=2x/x+2
∴xn+1=1/f(1/xn)=xn+1/2
∴xn+1-xn=1/2
∴数列{xn}是以1000为首项，1/2为公差的等差数列
∴xn=1000+1/2（n-1)
令n=2011
得x2011=1000+1005=2005

Answer 2

x(n+1)=1/f(1/xn)
=1/{(1/xn)/[a(1/xn+2)]}
=1/{1/[a(2xn+1)]}
=a(2xn+1)