Question

高中数学已知函数f(x)=1/2x^2-aInx(a∈R)

（1）若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b求a,b值
（2）若函数f(x)在（1，+无穷）为增函数，求a取值范围
（3）讨论方程f(x)=0的解的个数

Answer 1

（1）对f(x)求导得f(x)' = x - a/x,切线方程斜率即f(2)'= 1，可求出a = 2，则f(x)=1/2x^2-2Inx，f(2)=2 - 2In2，将（2，2 - 2In2）代入切线方程得b = -2In2.

（2）f(x)' = x - a/x，f(x)在（1，+∞）为增函数，说明f(x)'≥0对（1，+∞）恒成立，即x - a/x ≥ 0，因为x∈（1，+∞），所以a≤x^2,要恒成立只要a不大于x^2的最小值就行了，当x∈（1，+∞）时，x^2的最小值为1，所以a的取值范围为（-∞，1]。

（3）x>0，当a<0时，f(x)' = x - a/x恒大于0，此时f(x)在（0，+∞）上单调递增，x趋向0时，f(x)趋向-∞，x趋向+∞时，f(x)趋向+∞，所以此时只有一个零点，
当a>0时，令f(x)' = 0得x = √a，通过列表可知f(x)先减后增，极小值为f(√a) = 1/2 a(1-Ina),x趋向0与趋向+∞时，f(x)都趋向-∞，所以当a<1/2 a(1-Ina)即a>e时f(x)=0无解；当a<1/2 a(1-Ina)即a=e时f(x)=0有一解；当a>1/2 a(1-Ina)即0<a<e时f(x)=0有两解；
当a=0时，f(x)=0有一解

综上：当a>e时f(x)=0无解；
当a=e或a≤0时f(x)=0只有一解；
当0<a<e时f(x)=0有两解。

希望我的答案对你会有所帮助，加油！