Question

高一：已知函数f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)

(1)求函数f(x)的值域
（2）判断并证明函数f(x)的单调性

Answer 1

解:
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1),
设x1<x2
f(x1)-f(x2)
=(2^x1-1)/(2^x1+1)-(2^x2-1)/(2^x2+1)
=[(2^x1-1)(2^x2+1)-(2^x1+1)(2^x2-1)]/(2^x1+1)(2^x2+1)
2^x1+1>0
2^x2+1>0
[(2^x1-1)(2^x2+1)-(2^x1+1)(2^x2-1)]
=2^(x1+x2)+2^x1-2^x2-1-2^(x1+x2)+2^x1-2^x2+1
=2^(x1+1)-2^(x2+1)
因为y=2^x是增函数
x1+1<x2+1
所以
2^(x1+1)<2^(x2+1)
所以
f(x1)<f(x2)
所以
f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数

当x趋近于+∞时2^x-1=2^x+1
f(+∞)=1
当x趋近于-∞时2^x=0
f(-∞)=-1/1=-1
所以值域是（-1,1）
===也可以
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)=1-2/（2^x+1）
2^x>0,2^x+1>1 ，f(x)>1-2/1=-1
所以值域是（-1,1）