Question

请牛人解一道高中数学题，要详细解法

rt，以下为题目：
设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈r）满足以下条件：
①x∈r时，f（x）的最小值为为0，且f（x-1）=f（-x-1）成立;
②当x∈（0,5）时x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立。
（1）求f（1）的值
（2）求f（x）的解析式
（3）求最大实数m（m＞1）使得存在实数t，当x∈[1，m]有f（x+t）≤x成立
我的qq：774054117

Answer 1

f（x）的最小值为为0,所以顶点在x轴上,⊿=b²-4ac=0
因f（x-1）=f（-x-1）
所以对称轴为x=-1,顶点为(-1,0),f（x）=a(x+1)²
当x∈（0,5）时x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立。
令x=1得1≤f（1）≤1
故f（1）=1
代入解析式得a=1/4
所以f（x）=(1/4)(x+1)²
因存在t∈R，只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.取x=1有f(t+1)≤1.
即(1/4)(t+1+1)²≤1,解得-4≤t≤0.对t∈〔-4,0〕,取x=m，有f(t+m)≤m,即(1/4)(t+m+1)²≤m,化简有m²+2(t-1)m+ (t+1)²≤0
解得1-t-2√-t≤m≤1-t+2√-t
于是有m≤1-t+2√-t≤1-(-4)+ 2√-(-4)=9.当t=-4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x-4)-x=(1/4)(x2-10x+9)=1/4(x-1)(x-9)≤0.所以m的最大值为9。