利用单调性证明不等式
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设f(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x)
则f(x)=ln(x+1)-lnx-1/(1+x)
∴f'(x)=1/(1+x)-1/x+1/(1+x)²
=-1/[x(1+x)²]
＜0
∴f(x)单调递减。
∵lim(x→+∞)f(x)=0
∴x＞0时，f(x)＞0
即：ln(1+1/x)＞1/(1+x)
则f(x)=ln(x+1)-lnx-1/(1+x)
∴f'(x)=1/(1+x)-1/x+1/(1+x)²
=-1/[x(1+x)²]
＜0
∴f(x)单调递减。
∵lim(x→+∞)f(x)=0
∴x＞0时，f(x)＞0
即：ln(1+1/x)＞1/(1+x)
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e^x>1+x(x>0)
证明：
f(x)=e^x-(x+1)
f'(x)
=[e^x-(x+1)]'
=e^x-1
>0
∴ f(x)在(0，+∞)上单调递增
∴ f(x)>f(0)=0
∴ e^x>x+1(x>0)
证明完毕
证明：
f(x)=e^x-(x+1)
f'(x)
=[e^x-(x+1)]'
=e^x-1
>0
∴ f(x)在(0，+∞)上单调递增
∴ f(x)>f(0)=0
∴ e^x>x+1(x>0)
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设x=1/t(详见图片)
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