Question

如图所示，三角形ABC中，∠ACB=90，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4求∠BPC的度数。

如图所示，三角形ABC中，∠ACB=90，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4求∠BPC的度数。

Answer 1

这是旋转和勾股定理的训练
逆时针绕C点旋转三角形CPA 90度，使CA与CB重合（CA=CB）
令P点旋转后的点为O点
则∠PCO=90°,三角形PAO为等腰直角三角形，CP=CO
∠CPO=45°,PO=4√2
又，BO=6,PB=2
所以三角形BPO又是直角三角形。6^2-2^2=(4√2)^2=32
所以，∠BPC＝45°+90°=135°

Answer 2

解：将△ACP绕C点旋转90°，然后连接PQ，
由旋转的性质可知：CQ=CP=4，BQ=PA=6，∠QBC=∠PAC，
∴Rt△ACB∽Rt△PCQ，
又∵∠PCB+∠PCA=90°，
∴∠PCQ=∠QCB+∠BCP=∠PCB+∠PCA=90°，
∴PQ2=CQ2+CP2=32，且∠QPC=45°，
在△BPQ中，PB2+PQ2=4+32=36=BQ2
∴∠QPB=90°，
∴∠BPC=∠QPB+∠QPC=135°．
故答案为：135°．

Answer 3

在bC 外侧做△BCM≌△APC
PC=CM=4，∠PCM=90°
PM²=32
∠CPM=45°
BM=6，BP=2
BM²=PM²+PB²
∠MPB=90°
∠CPB=135°