Question

为什么f(x)在x0处二阶可导，f'(x0)=0，f''(x0)>0，f(x0)为极小值？

为什么f(x)在x0处二阶可导，f'(x0)=0，f''(x0)>0，f(x0)为极小值？某点的导数为零，是极值点可以理解，但为什么二阶导数>0为极小，二阶导数<0为极大？二阶导数有几何意义吗？

Answer 1

令g(x)=f(x)/xg'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2令h(x)=xf'(x)-f(x)h'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)当x>0时，h'(x)>0，即h(x)递增因为h(0)=-f(0)>=0所以h(x)>h(0)>=0所以g'(x)=h(x)/x^2>0，即g(x)递增所以f(x)/x递增

Answer 2

你可以这么理解。
假设极值点存在
f'(x)=0可以求出驻点x=x0
f'(x0)=0
而f''(x)＞0表示的是f'(x)是单调递增函数(注意这里是f'(x)不是f(x)。)
f''(x0)＞0，
说明在该点某个邻域内，x的一阶导函数是递增的。
而f'(x0)=0
也就说在该点某个邻域内，当x＜x0时，f'(x)＜0
当x＞x0时，f'(x)＞0
这样就满足了f'(x)从小于0到等于0再大于0，是个递增函数，即f''(x)＞0
所以
当x＜x0时，f'(x)＜0，f(x)单调递减
当x＞x0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增
先减后增
所以
x0处是个极小值点。