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设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f'(0)<0,f''(x)≥M>0,则方程f(x)=0在(0,+∞)不同实根的个数为
设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f'(0)<0,f''(x)≥M>0,则方程f(x)=0在[0,+∞)不同实根的个数为...
设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f'(0)<0,f''(x)≥M>0,则方程f(x)=0在[0,+∞)不同实根的个数为
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因为f''(x)>=M>0,所以f'(x) =f'(0)+∫f''(t)dt |0,x >=f'(0)+∫Mdt|0,x = Mx +f'(0)
当x>-f'(0)/M时,f'(x)>0,因为f'(0)<0,所以f'(x)有零点
由f''(x)>=M>0得知f'(x)单调增,在(0,+∞)上只有一个零点
f'(x)有且只有一个零点x=x0,且这个零点处f''(x0)>0,所以该点处f(x0)取极小值a
在(0,x0)上f'(x)<0恒成立,所以f(x)单调减,f(x)无零点
当x>x0时,f'(x)>0,f(x)单调增,且f(x)=f(x0)+∫f'(t)dt |t=x0, x >=f(x0)+∫Mt+f'(0)dt |t=x0,x
=f(x0) +0.5Mt^2 +f'(0)t
显然当x趋于正无穷大f(x)趋于正无穷大
所以在(x0,正无穷大)上f有一个零点
所以f有两个不同零点
当x>-f'(0)/M时,f'(x)>0,因为f'(0)<0,所以f'(x)有零点
由f''(x)>=M>0得知f'(x)单调增,在(0,+∞)上只有一个零点
f'(x)有且只有一个零点x=x0,且这个零点处f''(x0)>0,所以该点处f(x0)取极小值a
在(0,x0)上f'(x)<0恒成立,所以f(x)单调减,f(x)无零点
当x>x0时,f'(x)>0,f(x)单调增,且f(x)=f(x0)+∫f'(t)dt |t=x0, x >=f(x0)+∫Mt+f'(0)dt |t=x0,x
=f(x0) +0.5Mt^2 +f'(0)t
显然当x趋于正无穷大f(x)趋于正无穷大
所以在(x0,正无穷大)上f有一个零点
所以f有两个不同零点
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2019-09-15
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算了半小时,
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