Question

高数微分方程问题

图中画线部分。为什么y2-y1是方程的解？

Answer 1

如图所示：

追问

那下边那个为什么又变成y1+y2/2为解了？

Answer 2

非齐次线性微分方程
即y'+f(x)y=g(x)
两个特解y1，y2
即y1'+f(x)y1=g(x)，y2'+f(x)y2=g(x)
二者相减得到
(y1-y2)'+f(x)*(y1-y2)=0
所以y1-y2当然是齐次方程
y'+f(x)*y=0的解

追问

那下边那个为什么变成y1+y2/2了？

那下边那个为什么变成y1+y2/2了？

追答

y1和y2都是y'+P（x）y=Q（x）的解
即y'1+P（x）y1=Q（x）和y'2+P（x）y2=Q（x）都成立
两者相减得到
（y'1-y'2）+P（x）（y1-y2）=0
即（y1-y2）'+P（x）（y1-y2）=0成立
所以y1-y2是y'+P（x）y=0的解
至于你说的，例如y1+y2
将y'1+P（x）y1=Q（x）和y'2+P（x）y2=Q（x）相加，得到
（y'1+y'2）+P（x）（y1+y2）=2Q（x）
即（y1+y2）'+P（x）（y1+y2）=2Q（x）
所以y1+y2/2
是y'+P（x）y=Q（x）的解

追问

谢谢，那为什么要一个想加一个相减，这个有什么说法吗？

追答

已知非齐次方程的解，相减得到齐次方程的解，方便求出Px用x的表达式。
这道题y1,y2相加后得式比较简单，很容易得出Q（x）

做题嘛，根据已知条件，采用最快的方法得出结果即可。
最后帮忙采纳下。