Question

这道题第二问常规法怎么解答？求问如何找到线面角的平面角。

Answer 1

LZ您好

这一题如果不用向量而是常规做法

最难受的条件莫过于题中所给平面PAD与平面PCE的夹角.

然而题目中这2个平面的交线看不到,固然补平面做出交线也是好办法.

但这一题更好的办法是如图...

在CD上取中点H,连接FH,AH(本题也可以选择PC上取中点K,连接KH,EH,EK)

根据第一小题的结论,以及FH是△PCD的中位线

可以做出平面FHA∥平面PCE这样的结论

这样第二小题条件与待证结论全部从平面PCE替换变为了平面FAH(如果前面选择另一种辅助线,则这里平面PAD替换为了平面EKH,而PD替换为了KH,这里起就不赘述第二种方法的后续了...)

[上述只是这一题基础的辅助线,后文还有其他辅助线要加!]

接下来,和向量法有一个地方一致,那就是这个四棱锥的高并不知道,四棱锥的高不同,直接决定了下方二面角平面角,线面角的不同

所以设PA=x

根据直角三角形外心性质,PF=FA=FD=PD/2

PD可借由勾股定理求得

AC=AB,底面是菱形

△ACD是等边三角形

AH即可求得,且∠DHA=90度

FH可由含x代数式表示

接下来就比较繁琐了.

过H作HH'⊥AF,交AF于H',过H'作H'T∥AD,垂足为T

△FAH对∠FAH使用余弦定理,得到一个关于x的表达式

HH'=AHsin∠FAH

AH'=AHcos∠FAH (上述2个式子均是含x表达式)

根据△AH'T∽△AFC

H'T=FD*AD/AF (也是关于x的表达式)

至此H'H/H'T = √(1-(√15/5))²=√10/5

等号左边是关于x的表达式,解方程吧!

解出x之后...

这题就剩最后一步了,解△DH'T完事了.