Question

函数值域和最值问题-0-

（1）求f（x）=2x-1/x+1的值域。
（2）求f（x）=2x²+4x+1/x+1值域
（3）若函数f（x）=-x²-2x+2，x∈【-3，t】。求此函数的最小值与最大值

谢谢大家赐教~

Answer 1

嗯，我来给你解解。
1.解：分离变量得 f（X）＝[2（X＋1）－3]／X＋1＝2－3／X＋1
由于3／X＋1≠0 所以f（X）≠2 即为函数的值域
总结：“分离变量法”此方法为求函数值域的一类十分重要的方法，适用于分式结构的函数y＝ax＋b／cx＋d 型结构，一般求值域用结论：直接是y≠a／c
2.解：令y＝2X2＋4X＋1／X＋1 整理为关于X的方程为
2X2＋X（4－y）＋1－y＝0 又已知X为全体实数，且该是二次项系数显然不为0，故 Δ＝（4－y）2－8（1－y）≥0
解得y≥2√2 或 y≤－2√2
即为值域
总结：此法为Δ判别式法，也很重要，适用于y＝ax2＋bx＋c／dx2＋ex＋f（a、d不同时为0，若ad同时为0，则为第一题用分离变量法）结构的函数，但注意，有时此结构的却不能用，具体为：
①若定义域为R，分母Δ＜0的二次函数，用此法，且要注意把函数整理成X的方程时若二次项含未知量y，必须分类讨论X2二次项系数为0的情况，此时是关于X的一次函数，也可解得一个X，也符合，不然造成遗漏
②若定义域不是R，但分子分母可分解因式且有相同公因式，则不能用此法，只能用把相同的约去后于第一题一样用分离常数法
③若定义域不是R且分子分母可分解因式但没有相同的项不能约，则仍用Δ判别式法
④若定义域为一段区间，则最难，先仍整理成X的方程，然后在二次项系数不为0的情况下转化为二次函数在区间有根的问题，一般由根的个数对区间断点的正负列不等式
3.解：f（X）＝－（X＋1）2＋3,有图像进行分类讨论
①t≤－1时，由图像得x＝－3是取最小值－1，x＝t时取最大值－（t＋1）2＋3
②－1＜t≤1时，x＝－3时取最小值－1，x＝－1时取最大值3
③t＞1时，x＝t时取最小值－（t＋1）2＋3，x＝－1时取最大值3
综上所述，。。。。。（把上面的抄一遍）
最后，打字很累，也很详细，采纳吧，并且至少加20分奥