Question

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、B

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC。（1）求抛物线解析式（2）BC的垂直平分线交抛物线与D、E两点，求直线DE的解析式（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标主要是第三题

Answer 1

(1)y＝1/2*(x²-5x＋4)
(2)y＝2x-3
(3)设P(5/2，y)，则向量PB＝(3/2，-y)，
PC＝(-5/2，2-y)，已知AB＝(3，0)，
AC＝(-1，2)，所以
cos∠CPB＝(PB*PC) / (|PB|*|PC|)
＝[-15/4-y(2-y)] /
[√(9/4＋y²)*√(25/4＋(2-y)²)]，
cos∠CAB＝(AB*AC)/(|AB|*|AC|)
＝(-3＋0)/(√9*√5)＝-1/√5，
由于∠CPB＝∠CAB，
所以 cos∠CPB＝cos∠CAB，
由此解得 y＝-1/2 或 √21/2，
因此 P(5/2，-1/2) 或 P(5/2，√21/2)。

Answer 2

BC的垂直平分线与对称轴的交点是△ABC的外心，设这一点为F，FA为三角形外接圆半径，P在x轴下方的情况下，当FA=FP时，A、P、B、C四点共圆，∠CPB=∠CAB。这是一种情况

Answer 3

1),y=x²/2-5x/2+2
2),y=2x=3
3),P的坐标为（5/2，-1/2）或（5/2，√21/2）