Question

【急】关于三角恒等变换的一道题~

若sinα+sinβ=√(2)/2，则cosα+cosβ的取值范围是
A，【0，√(2)/2】
B, 【-√(2)/2，√(2)/2】
C，【-2,2】
D,【-√(14)/2, √(14)/2】

Answer 1

1
（Sinα+Sinβ)^2=Sinα^2+Sinβ^2+2SinαSinβ=1/2
由该式得
Sinα^2+Sinβ^2=1/2-2SinαSinβ
2-（Sinα^2+Sinβ^2)=3/2+2SinαSinβ…………(1)
2
(cosα+cosβ)^2=（cosα^2+cosβ^2）+2cosαcosβ=[2-（Sinα^2+Sinβ^2)]+2cosαcosβ
代入（1）式得(cosα+cosβ)^2=3/2+2（sinαsinβ+cosαcosβ）=3/2+2cos（α-β）
所以
cosα+cosβ的绝对值为√[3/2+2cos(α-β）]
因为-1≤cos(α-β）≤1
所以绝对值范围为【0，√（14）/2】
α=3/4∏，β=0时，cosα+cosβ为负，所以cosα+cosβ可以为负
答案是D