Question

高数，敛散性问题。判断是绝对收敛还是条件收敛

Answer 1

条件收敛
对任意x∈(0,π),由积化和差公式,
2sinx*(sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx)

=(cos0-cos2x)+(cosx-cos3x)+(cos2x-cos4x)+...+(cos(n-1)x-cos(n+1)x)
=cos0+cosx-cosnx-cos(n+1)x
再由和差化积公式,
cos0+cosx-cosnx-cos(n+1)x
=2cos(x/2)cos(-x/2)-2cos[(2n+1)x/2]cos(-x/2)
=2cos(x/2)*{cos(x/2)-cos[(2n+1)x/2]}
也就有2sinx*(sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx)=2cos(x/2)*{cos(x/2)-cos[(2n+1)x/2]}
而sinx=2sin(x/2)cos(x/2),整理得到
2sin(x/2)*(sinx+sin2x+...+sinnx)=cos(x/2)-cos[(2n+1)x/2]
等式右边显然有界,而等式左边的2sin(x/2)也有界,可得∑(i=1→n)sinix有界

数列{1/n}单调趋於0,由狄利克雷判别法,原级数收敛
但由於|sinnx|≤1,在不等式两边同时乘以|sinnx|,有|sinnx|²=(sinnx)²≤|sinnx|,
所以|sinnx/n|≥(sinnx)²/n=1/2n*(1-cos2nx)=1/2n-cos2xn/2n
级数∑cos2xn/2n同理可证是收敛的,但级数∑1/2n发散,所以由比较审敛法,∑|sinnx/n|发散,即原级数条件收敛