Question

我想问一下矩阵的向量组和其特征向量组的关系是什么？有一道题为例。

我想问一下矩阵的向量组和其特征向量组的关系是什么？有一道题为例。图一是题目，图二是答案，图三是a等于15的时候的结果，当a等于15的时候，矩阵的向量组只有一个线性无关的列向量，但是线性无关的特征向量有两个，可以帮我总结一下他们的关系吗？谢谢！

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Answer 1

这道题和矩阵的向量组是没有任何关联的，简单的说这道题解题的过程和你问的是没关系的。
特征向量是针对特征值所求出来的特征向量。和矩阵的向量组之间没有直接联系
至于这道题：
首先重根的特征向量个数，小于等于重根个数。
不同根特征值，各自有各自的，一般来说都是一一对应。
这道题如果有两个线性无关的特征向量，则可能有两个特征值，也可能有重根特征值。
可是题目表达了只有一个线性无关的特征向量，则不可能有两个不同的特征值，只可能是有两个重根特征值，而恰好这个重根特征值的特征向量只有一个。
其实你得出来重根特征值可以验算一下，求出特征向量，这道题重根一定只有一个线性无关的特征向量。
另外多提一句，其实重根的特征向量个数，也决定了矩阵能否相似对角化。n个重根需要有n个线性无关特征向量，才能相似对角化。其实也就是根据定义而来，如果矩阵有n个线性无关特征向量，则矩阵可以相似对角化。

Answer 2

如果Ax=λx, B=P^{-1}AP 那么Ax=PBP^{-1}x=λx, B(P^{-1}x)=λ(P^{-1}x)

追问

什么意思？

贴一个矩阵相似，特征值相同的答案？