Question

问一道题，如图

x趋近于0时分母不就等于0了么

Answer 1

分子分母都趋近于0，所以才有极限的存在

等价无穷小e^x-1~x，分母有理化，洛必达法则

Answer 2

x->0
分子
e^x -1 = x +o(x)
x^2.(e^x -1) = x^3 +o(x^3)
分母
tanx = x+(1/3)x^3 +o(x^3)
tanx -x =(1/3)x^3 +o(x^3)
lim(x->0) x^2.(e^x -1)/[√(1+tanx) -√(1+x) ]
=lim(x->0) x^2.(e^x -1).[√(1+tanx) +√(1+x) ] /[(1+tanx)-(1+x) ]
=lim(x->0) x^2.(e^x -1).[√(1+tanx) +√(1+x) ] /(tanx-x)
=2 . lim(x->0) x^2.(e^x -1) /(tanx -x)
=2 . lim(x->0) x^3 /[ (1/3)x^3 ]
=6

Answer 3

趋近不等于0，极限最基本的概念
用麦克劳林公式展开：
e^x-1=x+Rn(x)
tanx=x+(1/3)x³+Rn(x)
(1+tanx)^(1/2)=1+(1/2)tanx-(1/8)tan²x+(1/16)tan³x+Rn(x)=1+(1/2)[x+(1/3)x³]
-(1/8)[x+(1/3)x³]²+(1/16)[x+(1/3)x³]³+Rn(x)
=1+x/2-x²/8+(11/48)x^3+Rn(x)
(1+x)^(1/2)=1+x/2-x²/8+(1/16)x^3+Rn(x)
(1+tanx)^(1/2)-(1+x)^(1/2)=(1/6)x^3+Rn(x)
原式=lim x^3/[(1/6)x^3]
=6