Question

已知抛物线y^2=4x上一定点p（1,2）

已知抛物线y^2=4x上一定点p（1,2）和两动点A.B（A.B不同于p）且AP垂直BP，求证直线ab过定点，并求出定点坐标

Answer 1

抛物线y^2=4x
直线AB为y=kx+b

(kx+b)^2=4x
即k^2x^2+(2bk-4)x+b^2=0

x1x2=b^2/k^2,x1+x2=(4-2kb)/k^2

4(y-b)/k=y^2
即ky^2-4y+4b=0

y1y2=4b/k,y1+y2=4/k

因为A(x1,y1),B(x2,y2),P(1,2)
AP垂直BP
AP=(x1-1,y1-2)，BP=(x2-1,y2-2)
(x1-1)*(x2-1)+(y1-2)*(y2-2)=0
即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=0

代入y1y2=4b/k,y1+y2=4/k，x1x2=b^2/k^2,x1+x2=(4-2kb)/k^2

得：(b+3k)^2=(2k+2)^2
1，当b+3k=2k+2，则k=2-b
直线AB为y=kx+b即y=(2-b)x+b,定点为(1,2),改点为P点不符合要求舍去

2,当b+3k=-2k-2，则5k=-2-b
直线AB为y=kx+b即y=kx-2-5k,定点为(5,-2)

所以定点是(5,-2)

Answer 2

只说思路：设AB方程Y＝Kx＋b
联立方程组：Y＾2＝4x
y＝kx＋b
解得：x1＋x2＝
x1×x2＝
设A（x1，y1）B（X2，Y2）
则AB中点Q（（x1＋x2）／2， （1＋y2）／2）
由直角三角形性质得pQ＝AB／2
代入数据即可证明得出结论

Answer 3

不会