Question

高中数列求通项

已知数列 2a1+2^2a2+2^3a2+2^4a4+…+2^nan=n 求数列an的通项公式 若bn＝n/an 求数列bn的前n项和

Answer 1

解：因为2a1+2^2a2+2^3a2+2^4a4+…+2^nan=n ……(1)
所以2a1+2^2a2+2^3a2+2^4a4+…+2^nan+2^(n+1)a(n+1)=n+1……(2)
(2)-(1)得：2^(n+1)a(n+1)=1，即a(n+1)=1/2^(n+1)，则an=1/2^n
所以bn＝n/an=n/(1/2^n)=n*2^n.
所以Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n
2Sn= 1*2^2+2*2^3+…+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
两式相减，得：-Sn=2^1+2^2+2^3+…+n*2^n-n*2^(n+1)
=2*(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
=(1-n)*2^(n+1)-2
所以Sn=(n-1)*2^(n+1)+2.