Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+2SnS（n-1）=0（n≥2）

（1）求证：｛1/Sn｝为等差数列 （2）设bn=Sn/2n+1 ,求数列｛bn｝的前n项和Tn （3）是否存在自然数m，使得对任意n属于正整数，都有Tn＞（m-8)/4成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由

要详细过程 谢谢了~~

Answer 1

(1). an+2SnS（n-1）=0
Sn-S(n-1)+2SnS（n-1 )=0
两边同时除以 SnS（n-1）得:
1/S(n-1)- 1/Sn +2=0
∴1/Sn - 1/S(n-1)=2 (n≥2)
当n=1时, a2=-1/2 满足上式
∴ ｛1/Sn｝为等差数列,首项为1,公差为2.
(2). 由(1)得, Sn=1/(2n-1)
∴bn=1/[(2n-1)(2n+1)]
Tn= b1+b2+……+bn
=1/(1*3)+1/(3*5)+……+1/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2[1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-1)-1/(2n+1)] (中间用拆项求和)
=1/2-1/(4n+2)（n≥1）.
(3).存在.
Tn>（m-8)/4 化简得
m<10-2/（2n+1)
另t=10-2/（2n+1), n=1时，t（min）=28/3
若对任意n属于正整数，都有Tn＞（m-8)/4成立，则m<28/3
∴m的最大值为9.

呼～打出来累死俺了！
思路就是这样，计算过程自己再检验下就好了..
还有（2）里的题目应该是Sn/（2n＋1）吧...