Question

已知f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)是偶函数，试判断函数g(x)=ax^3+bx^2+cx的奇偶性

Answer 1

g(-x)=-ax^3+bx^2-cx
-g(x)=-ax^3-bx^2-cx
若g(x)=ax^3+bx^2+cx是奇函数
则-ax^3+bx^2-cx=-ax^3-bx^2-cx
所以bx^2=-bx^2
所以b=0
所以只有b=0时，g(x)是奇函数
b不等于0时，g(x)不是奇函数

Answer 2

已知f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)是偶函数,则：
f(x)=ax^2+bx+c=f(-x)=ax^2-bx+c
>>>>>b＝0
g(x)=ax^3+bx^2+cx＝g(x)=ax^3+cx=-{a(-x)^3+c(-x)}=-g(-x)
因此，g（x）为奇函数

Answer 3

由题意得：b=0

所以g（x)=ax^3+bx^2+cx=ax^3+cx为奇函数
可用定义证明

图像：
大致是这样