Question

求解这道题，写出详细过程，谢谢

Answer 1

（Ⅰ）、如图所示，过点E作EF∥AD，连接CF。

因为AD=3BC，所以AD/BC=3，

因为在△MAD中EF∥AD，AE=2ME，

所以△MAD∽△MEF，有AD/EF=MA/ME=3，

由BC∥AD，EF∥AD，AD/BC=AD/EF=3可知EF与BC平行且相等，

所以四边形BCFE为平行四边形，有BE∥CF，

又因为CF在平面MCD上，BE不在平面MCD上，所以BE∥平面MCD。

（Ⅱ）、过点C作CG∥AB，连接FG。

因为CE为平行四边形BCFE的对角线，所以平面BCFE即为平面BCE，

因为BC∥AD，∠MAB=∠ABC=90°，所以∠BAD=90°，

因为AD=AB=AM，DM=√2AB，所以DM=√2AD=√2AM，

可知△MAD为等腰直角三角形，有∠MAD=90°，

所以MA、AB、AD两两垂直，可知MA⊥平面ABCD，

由CD∥AB可知四边形ABCG为矩形，有EF、AG、BC互相平行且相等，

则四边形AEFG为矩形，有FG∥AE，即有FG⊥平面ABCD，

综上所述可知四棱锥M-ABCD被平面BCE分成的下方部分由

三棱柱ABE-GCF和三棱锥F-CDG组成，

设BC=AG=x，则AD=AB=AM=CG=3x，AE=FG=DG=2x，

所以下方部分的体积为三棱柱ABE-GCF体积+三棱锥F-CDG体积

=AB×AE÷2×AG+CG×DG÷2×FG×1/3

=3x×2x÷2×x+3x×2x÷2×2x×1/3=5x³，

又因为四棱锥M-ABCD的体积为(AD+BC)×AB÷2×MA×1/3

=(3x+x)×3x÷2×3x×1/3=6x³，

所以上方部分的体积为6x³-5x³=x³，

所以上、下两部分的体积的比为x³/5x³=1/5。