Question

高数极限和导数的定义问题，希望数学大神予以讲解。在线急等。

最近做题做到了考研数二04年选择题第十题。大意是这样已知连续函数f（x），且f（0）的导数大于0，则存在ε＞0，有（）A.在（0，ε）单调递增 C.f（ε）＞f(0)老实说，我很想跳过这个小问题记住答案就是了。选c是因为极限保号性，我是知道的。但是我看见网上很多人举例子什么震荡函数，我不知道对不对，因为题目中函数连续，我不知道什么样子的连续函数，能保证一点有导数周围没有，也不能明白为什么这一点有增大趋势却没有增大。后来我想到一个分段函数推出A的毛病，就是当x不等于0时，是常值函数1，当x=0时，它是e的x次方，这样的函数连续，而且不会递增，可是这样的话，C为什么会是对的呢，极限的保号性我是越发的迷了。导数的保号性来自极限和极限的关系我越来越混淆了，我查阅网上很多，但是不能让我明白，我是一个不想轻易放弃任何细微的人，这样学后面我会难受、抓狂。网上我得到的内容：1.存在震荡函数，极小的邻域内也会有增减，那震荡函数是连续函数吗？就算增减就没有最初的那一小段点增吗？2.导数的一个点，无法判断一个邻域也就是一个范围的增减情况。行吧..但是为什么通过这一个利用函数极限的保号性能判断出C？因为定义吗dy除dx，那定义是不是有问题呢，我给出的函数例子是不是存在问题请您们指出。3.保号性的定义是什么？假设函数的极限存在且大于0，那么函数在某邻域>0。而现在一点的导数>0，充其量只能保证增量商在某邻域大于0，也就是这个比值函数在某邻域大于0，而并不是导数的值大于0，一个是极限，一个函数的值，区别很大。（网上的，我没理解到）

Answer 1

1。记住这样的结论"f(x)为奇函数则f'(x)为偶函数" 证明:只要证f'(-x)=f'(x)即可 用导数定义法 f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx f'(-x)=lim[f(-x-Δx)-f(-x)]/-Δx =lim[-f(x+Δx)+f(x)]/-Δx =lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=f'(x) 得证 同样可以证明"f'(x)为偶函数则f(x)为奇函数" f'(x)=2+cosx>0是偶函数 则f(x)是[-2,2]上单调递增的奇函数 由f(1+x)+f(x-x2)>0 得f(1+x)>f(x2-x) 解1+x>x2-x 即x2-2x-1<0 再考虑定义域得(1-√2,1)