Question

线代行列式问题

如图咋写

Answer 1

这种问题很难讲，线性代数只是一套记号系统，很多问题当中都会产生出矩阵和行列式，所以你很难说哪个来源才是真正的本质当然，如果为了比较深入地理解矩阵和行列式，我建议从线性映射（或变换）的几何意义入手比如说，考虑R^n上的线性变换，y=f(x)=Ax，那么det(A)具有（有向）体积比的意义，也就是说，x的某个邻域U在这个映射下得到的像V（V是y的某个邻域）之间的有向体积的比det(A)=vol(V)/vol(U)，这里U和V的体积都带有定向你在某些场合可能会看到行列式表示n维平行多胞体的有向体积，这和上述讲法是相容的，你可以理解为A的列恰好表示单位向量（单位阵I的列，也就是单位立方体的边）在映射A下的像，从而A把单位立方体映射到一个平行多胞体，两者的体积比就是那个平行多胞体的体积，如果det(A)<0则表示中间出现了左右手系的切换行列式的很多性质（比如行列式在错切变换下不变，交换两列时变号，以及行列式乘积定理det(AB)=det(A)det(B)，Cramer法则等）都可以用几何意义来理解另外，上述解释不仅适用于线性变换，对于比较光滑的非线性变换y=f(x)而言，Jacobi行列式的意义也是这样解释（映射前后体积微元的体积比），线性变换的Jacobi矩阵是常数矩阵，所以整套系统其实都是一回事