Question

一道物理问题求解（微积分怎么解决）

一个小球在光滑圆轨道内侧，从最低点出发，初速度为V，求小球运动周期？（小球不脱离轨道，能做完整圆周运动）

Answer 1

这是个圆周运动，s=积分（vdt），用周长或者2pi角度求出相应的时间即可速度大小的变化跟切向加速度有关。以向下的半径方向为起始轴建立角度坐标系。任意角度b时，切向力为F=mgsinb=ma=mdv/dt；gsinb=rdw/dt（w是角速度）；gsinbdb=rwdw（利用dw/dt=dw/db*db/dt，db/dt=w）这里可以解出w和b的关系。db=wdt，把w里的b项转移到左边然后两边做积分即可，b从0到2pi，t从0到T。这个积分好像积不出来。可能还有更好的方法，请指教。

Answer 2

可参考类比单摆在平衡位置附近往复的运动作受力分析，得微分方程如下，最后求得小球运动的周期T=2π*(l/g)，其中l为小球运动的半径。

Answer 3

只好假设是圆轨道，不然没法分析了。给出一个思路，但微分方程我解不出来。
首先要确定速度足够大或足够小，要么大到实现完整的圆周运动（在最高点时速度不小于√(gR)），要么小到运动的最高点不高过圆心。
mv0²/2=mv0²/2+mgR(1-cosθ) θ是球偏离最低点与圆心所成的圆心角。
v=ωR=Rdθ/dt
得到(dθ/dt)²=(v0/R)²+2g(1-cosθ)/R
解微分方程得到θ与t的关系。
对于速度足够小的情况，可以根据机械能守恒，计算出球能达到的最大高度，从而知道θ的最大值。

Answer 4

我觉得要分两种情况。
1.当1/2mv²＜mgr时，球只能在下半部分晃动。这是一个时间。
2.当上式为≥时，小球可在圆内顺利绕一周，这又是一个世界。
具体时间的计算，要用积分。

Answer 5

椭圆积分，只能用电脑来算，没有统一公式。