Question

高数题 设f(x)在x=0的邻域内连续,求f(0)并证明f'(0)存在并求之,求常数b和k的值？（详见图片）

设f(x)在x=0的邻域内连续,求f(0)并证明f'(0)存在并求之,求常数b和k的值

Answer 1

lim x→0 [xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2。

[xf(x)-ln(1+x)]/x^2=2+a a是一个无穷小量，lim x→0 a=0。

这就相当于 lim x→0 f(x)=A 那么f(x)=A+a a是一个无穷小量。lim x→0 a=0。这是无穷小引理。

已知f(x)在x=0的某邻域内连续，所以，极限值等于函数值。

f(0)=lim x→0 f(x)=lim x→0 [(2+a)x^2+ln(1+x)]/x =洛必达法则=limx→0 2(2+a)x+1/(1+x) =1

f(0)=1。

f'(0)=lim x→0 [f(x)-f(0)]/x =lim x→0 [f(x)-1]/x =lim x→0 [(2+a)x^2+ln(1+x)-1]/x 同样用洛必达法则，得f'(0)=1。

常数

数学名词，指规定的数量与数字，如圆的周长和直径的比π﹑铁的膨胀系数为0.000012等。常数是具有一定含义的名称，用于代替数字或字符串，其值从不改变。数学上常用大写的"C"来表示某一个常数。而且，它一般都分类于超越数(比如π、Σ10^-j!)、无理数(比如e、φ)、不可计算数(比如√2、ΩU)、可计算数(比如δ、γ)这四种分类。

Answer 2

这个题还是稍微有点难度的

Answer 3

如图所示