Question

请问这题有关定积分的题怎么证明？

Answer 1

由F(x)两边对x求导，有F'(x)=arcsin(sinx)(sin²x)'+arccos(cosx)(cos²x)'=sin(2x)[arcsin(sinx)-arccos(cosx)]。
在x∈[0,π/2]时，令arcsin(sinx)=t，∴x=t，即arcsin(sinx)=x。同理，arccos(cosx)=x。
∴F'(x)=0。∴在x∈[0,π/2]时，F(x)是常数。不妨令x=0，F(0)=∫(0,1)arccos(√t)dt。令arccos(√t)=y换元，易得F(0)=π/4。
∴在x∈[0,π/2]时，F(x)=π/4成立。
供参考。