Question

有大佬知道这两道定积分证明题怎么做吗？

Answer 1

1) 根据定积分基本性质
∫(a,a+T) f(x)dx =∫(0,a+T) f(x)dx -∫(0,a) f(x)dx
= ∫(0,T) f(x)dx +∫(T，a+T) f(x)dx -∫(0,a) f(x)dx
对中间积分取t=x-T带入得到
= ∫(0,T) f(x)dx +∫(0，a) f(t+T)dT -∫(0,a) f(x)dx
= ∫(0,T) f(x)dx +∫(0，a) f(t)dT -∫(0,a) f(x)dx
= ∫(0,T) f(x)dx
2) 第二题更简单

∫(0,nT) f(x)dx = ∫(0,T) f(x)dx+∫(T,2T) f(x)dx+...+∫(nT-T,nT) f(x)dx
应用1)的结论得到=∫(0,T) f(x)dx +∫(0,T) f(x)dx+。。。+∫(0,T) f(x)dx=n∫(0,T) f(x)dx
∫(0,npi) 根号(1+sin2x)dx=n∫(0,pi) 根号(1+sin2x)dx
=n∫(0,pi) 根号((sinx)^2+2sinxcosx + (cosx)^2)dx
=n∫(0,pi) |sinx +cosx| dx
=n∫(0,pi/2)sinx +cosx dx + n ∫(pi/2,pi)sinx -cosx dx
=n∫(0,pi/2)sinx +cosx dx + n∫(0,pi/2)cosx -sinx dx
=2n∫(0,pi/2)cosx dx = 2nsinx|0,pi/2 = 2n