Question

不定积分的公式问题？

老师说∫ √(1-x^2)dx中令x三角代换为sint，下一步∫ √(1-(sint)^2)d(sint)，在下一步∫ |cost|costdt,
然后就直接把绝对值符号去了，变成∫ (cost)^2dt,这是为什么？？？既然x在-1到+1之间，t
可以取任何值啊，如果t在二三区间，cost小于零，那结果应该是∫ -(cost)^2dt啊，正负两个结果？？

Answer 1

因为代换之后t的范围为[-π/2，π/2]，，所以cost≥0，详细过程请见图片

追问

老师好像也这么说，不过我想稍微抬一下杠哈，为啥t一定要在一四区间呢，如果在二三区间也没问题吧

追答

因为在换元中，x=sint，所以t=arcsinx，由于x的取值范围为[-1,1]，所以arcsinx的值域为[-π/2，π/2]，所以t只能在这个区间内了。