Question

高数求解 为什么二重积分利用函数奇偶性会出现 偶倍奇零？

Answer 1

跟定积分原理一样
在[-a,a]上
若f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)
∫(-a,a)
f(x)
dx，令x=-u
=∫(a,-a)
f(-u)*(-du)
=∫(-a,a)
f(-u)
du
=∫(-a,a)
-f(u)
du
=-∫(-a,a)
f(x)
dx，移项得
∫(-a,a)
f(x)
dx=0
同理∫(-a,a)
f(x)
dx
=
2∫(0,a)
f(x)
dx若f(x)为偶函数
至于二重积分
若D关于x轴和y轴都是对称的
而且被积函数是关于x或y是奇函数的话，结果一样是0
例如D为x^2+y^2=1
则x，x^3，xy，xy^3，y^5，x^3y^3等等的结果都是0
不要以为xy和x^3y^3是偶函数，奇偶性是对单一自变量有效的
计算x时把y当作常数，所以对x的积分结果是0时，再没必要对y积分了