Question

高数求解 为什么二重积分利用函数奇偶性会出现 偶倍奇零？

Answer 1

奇函数的积分会是0。即使不是奇函数，积分仍有可能是0。当积分区域关于x轴对称，若被积函数是关于y的奇函数，则积分值为0；若被积函数是关于y的偶函数，则积分值为“这部分对称区域”的两倍。

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

扩展资料：

当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy。

奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

参考资料来源：百度百科--二重积分

参考资料来源：百度百科--函数奇偶性

Answer 2

跟定积分原理一样。

在[-a，a]上，若f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)，∫(-a，a) f(x) dx，令x=-u。

=∫(a，-a) f(-u)*(-du)

=∫(-a，a) f(-u) du

=∫(-a，a) -f(u) du

=-∫(-a，a) f(x) dx，移项得∫(-a，a) f(x) dx=0。

同理∫(-a,a) f(x) dx = 2∫(0,a) f(x) dx若f(x)为偶函数。

至于二重积分，若D关于x轴和y轴都是对称的。

而且被积函数是关于x或y是奇函数的话，结果一样是0。

例如D为x^2+y^2=1

则x，x^3，xy，xy^3，y^5，x^3y^3等等的结果都是0。

不要以为xy和x^3y^3是偶函数，奇偶性是对单一自变量有效的。

计算x时把y当作常数，所以对x的积分结果是0时，再没必要对y积分了。

扩展资料：

奇函数在其对称区间[a，b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。

偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称，点（x，y）→（-x，-y）。

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

参考资料来源：百度百科--函数奇偶性

Answer 3

跟定积分原理一样
在[-a,a]上
若f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)
∫(-a,a) f(x) dx，令x=-u
=∫(a,-a) f(-u)*(-du)
=∫(-a,a) f(-u) du
=∫(-a,a) -f(u) du
=-∫(-a,a) f(x) dx，移项得
∫(-a,a) f(x) dx=0
同理∫(-a,a) f(x) dx = 2∫(0,a) f(x) dx若f(x)为偶函数

至于二重积分
若D关于x轴和y轴都是对称的
而且被积函数是关于x或y是奇函数的话，结果一样是0
例如D为x^2+y^2=1
则x，x^3，xy，xy^3，y^5，x^3y^3等等的结果都是0
不要以为xy和x^3y^3是偶函数，奇偶性是对单一自变量有效的
计算x时把y当作常数，所以对x的积分结果是0时，再没必要对y积分了