Question

对下列实对称矩阵A，求一个正交矩阵P，使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵 2 0 0 0 -1 3 0 3 -1

Answer 1

解:
|A-λE|=
2-λ
0
0
0
-1-λ
3
0
3
-1-λ
=
(2-λ)[(-1-λ)^2-3^2]
=
-(2-λ)^2(4+λ).
所以A的
特征值
为:
2,2,-4.
(A-2E)X=0
的
基础解系
为:
a1=(1,0,0)',a2=(0,1,1)'
(A+4E)X=0
的基础解系为:
a3=(0,1,-1)'
a1,a2,a3
两两正交,
下面单位化得
b1=(1,0,0)'
b2=(0,1/√2,1/√2)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令P=(b1,b2,b3),
则P可逆,
P^-1=P^T,
且
P^=1AP=diag(2,2,-4).

Answer 2

a
的特征值为
7,11
(a-7e)x=0
的基础解系为
(1,1)^t
(a-11e)x=0
的基础解系为
(1,-1)^t
p=
1/√2
1/√2
1/√2
-1/√2
则p为正交矩阵,
且
p^-1ap=p^tap=diag(7,11)