Question

基本不等式的几何证明

Answer 1

如果a、b都为实数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
证明如下：
∵（a-b)^2≥0
∴a^2+b^2-2ab≥0
∴a^2+b^2≥2ab
如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c时等号成立
如果a、b都是正数，那么（a+b）/2
≥√ab
，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）
几何证明：
点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b
易证：ΔABE∽ΔAEC
∴a/AE=AE/b
即，AE=√（ab）
①
又由于三角形中斜边大于直角边，
∴AD＞AE
②
∵AD=1／2(a+b）
③
联合①②③得，
1／2(a+b）＞√（ab）