Question

物理 天体运动

宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
(2）假设两种形式星体的周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

Answer 1

（1）设三颗星的质量为m，选择围绕中央星的两颗中的一颗为对象。
它和中央星的万有引力为Gm^2/R^2，它和另一颗围绕中央星旋转的星的万有引力为Gm^2/(2R)^2。因此这颗星受到的合力为：F=Gm^2/R^2+Gm^2/(2R)^2
合外力提供向心力：F=mv^2/R=m(4π^2/T^2)R
解得： v=根号下(5Gm/4R) T=根号下(16π^2R^3/5Gm)

（2）设等边三角形的边长为R'，选其中任意一颗星为对象，则该星受到其他两颗星的万有引力均为：Gm^2/R';^2
这两个力夹角60度，因此该星受到合外力为：F=根号3*Gm^2/R'^2
由几何关系得，圆周运动圆心为三角形中心，圆周运动半径为r=（R'*根号3）/3
合外力提供向心力：F=m(4π^2/T'^2)r
解得：T'=根号下(4π^2R'^3/3Gm)
T'=T
可得：R'=R*三次根号下（12/5）