Question

天体运动

假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内．己知地球表面处的重力加速度g = 9.80m/s2，地球半径 R0=6.37×106m，月球质量m=7.3×1022kg，月球半径 Rm=1.7×106m，引力恒量G=6.67×10-11N·m2/kg2, 月心地心间的距离约为r0m=3.84×108m
1地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？
2若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少（结果要求两位数字）?

Answer 1

由楼下明白满月的含义，对前半部分进行修改。
地球角速度：ωe=2π/Te
月球公转周期：Tm=2π/ω，按天算为Tmd=Tm/(24×60×60)
月球离心加速度：ω²r0=a
离心加速度等于重力加速度，重力加速度与半径平方成反比：a/g=(R0/r0)²
满月时月球要多转一个地球的公转角，故有：Ty/(2π+ωe×Ty)=Tm/(2π)
按天算，Tyd=Ty/(24×60×60)
解得：
Tm=27.44天≈27天
Ty=29.67天≈30天

设卫星质量为z
由地表重力加速度求地球质量M：GM/R0²=g
设地月的引力平衡点距月球为R，则：GM/(r0-R)²=Gm/R²
由引力平衡点到月球表面，卫星在月球引力场势能减小量和在地球引力场势能增加量，即为卫星到达月球表面的最小动能：Gmz(1/Rm-1/R)-GMz(1/(r0-R)-1/r0)=1/2zv²
解得：
M=6.0×10^24Kg
R=3.8×10^7m
v=2.3×10³m/s

题中各参数含义由赋值可知。
Te=365×24×60×60，G=6.67×10^-11，R0=6370000，r0=3.84×10^8，g=9.8，Rm=1.7×10^6，m=7.3×10^22

Answer 2

这是道物理竞赛初赛题第一问29.6天。第二问2.3*10的三次方