Question

2011年甘肃省中考数学试题

Answer 1

28、（2011•兰州）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
解答：（1）解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
当x=0时，y=﹣2，
∴点A的坐标是（0，﹣2），
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，﹣2），把A（0，﹣2），B（2，﹣2），D（4，﹣）代入得：
且，
解得a=，b=﹣，c=﹣2
∴抛物线的解析式为：，
答：抛物线的解析式为：．
（2）解：①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2﹣2t）2+t2，
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1），
∴当S=时，5t2﹣8t+4=，得20t2﹣32t+11=0，
解得t=，t=（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，﹣2），Q点的坐标为（2，﹣）
若R点存在，分情况讨论：
【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为﹣，
即R（3，﹣），
代入，左右两边相等，
∴这时存在R（3，﹣）满足题意；
【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，
则：R的横坐标为1，纵坐标为﹣，
即（1，﹣），
代入，左右两边不相等，R不在抛物线上；
【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，﹣）代入，
左右不相等，
∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述，存点一点R（3，﹣）满足题意．
答：存在，R点的坐标是（3，﹣）．
（3）解：如图，M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：，
解得：k=，b=﹣，
∴y=x﹣，
抛物线的对称轴是x=1，
把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐标为（1，﹣）；
答：M的坐标为（1，﹣）．
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．