求幂级数x^2n+1/2n+1的和函数 5
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易得，级数∑[1/(2n+1)]x^(2n+1)的收敛区间、收敛域均为-1<x<1。【假设n=0,1,2……，∞】
设S(x)=∑[1/(2n+1)]x^(2n+1)。显然，S(0)=0。在其收敛区间、对x求导、求和，有S'(x)=∑x^(2n)=1/(1-x²)。
∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=∫(0,x)dx(1-x²)=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中-1<x<1。
供参考。
设S(x)=∑[1/(2n+1)]x^(2n+1)。显然，S(0)=0。在其收敛区间、对x求导、求和，有S'(x)=∑x^(2n)=1/(1-x²)。
∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=∫(0,x)dx(1-x²)=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中-1<x<1。
供参考。
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