Question

换元法求值域的具体方法

最好附有例题讲解！谢谢啦！

Answer 1

哎，我把你认为是另一个提很多问题的人了！现在让我给你参考参考：
首先，为什么我们要换元：是因为所求式子较复杂或是用换元法比较容易解决。
举个例子：求y=x+√(1-x)的值域,如果直接入手，有一定难度，但我们可以假设：
t=√(1-x),反解出：x=1-t^2,(注意：t≥0，"√"代表根号）
所以原式等价于：y=1-t^2+t=-t^2+t+1（二次函数是我们所熟悉的）,其值域为：
（-∞，5/4]。
任何数学变换都要遵循一个原则（理）：等价变换。
为什么等价：以y=x+√(1-x)为例，原式x的取值范围为：x≤1;
它是受√(1-x）所约束的，说简单点，x 的值是由√(1-x）≥0解得的，但是我们没有必要求出x的值，因为我们的目的是要求值域，而不是定义域。这样t=√(1-x)
t≥0与解得的x≤1是一个意思（t≥0等价于x≤1），接下来只需要用字母t的式子去代替用x表示的式子，原来的根号就消失了，式子变得简单了。
那为什么值又没有扩大或是缩小呢：
既然定义域都没有变，那值域怎么会变呢，我们只是用t去等量代替√(1-x），从而避免根号这个“障眼法”，而使问题变得简洁。（换元法的最终目的是使复杂式子简单化，也就是更容易看懂）

（重点参考：等价变换实际上是定义域不变的代换，定义不变，值也就不变。换元法求值域就好比你要从A地到B地，但是路有很多条，但是只有一条比较好走，而你选择的就是那一条好走的路，殊途同归，实际都能到达）

Answer 2

一、配方法

通过配方结合函数图像求函数的值域，一般地，对于二次函数 求值域问题可运用配方法.

例1、 求 的值域

解：

于是 的值域为 .

二、反函数法

一般地，形如 ，可利用原函数与反函数的定义域和值域之间的互逆关系.

例2、 求函数 的值域.

解：由 得 ，因为 ，所以 .

于是此函数的值域为

三、分离常数法

一般地，对于分式函数来说，可以分离一个常数去求函数的值域.

例3、 求 的值域

解：

而

即 ，所以

即函数 的值域为 .

注意：例2也可以利用分离常数法去求值域，有兴趣的读者可以试一试.

四.判别式法

一般地.形如 ，转化为关于y的一元二次方程，利用方程有实数解， 来求y.

例4、 求 的值域.

解：由 去分母得

即

当y=2时，此方程无实根.

当 ，此方程为一元二次方程，

即

所以 ，又因为 ，于是

故函数 的值域为

注意：下面2点不能直接用判别式法.

1、定义域去掉无限个点. 2、分子分母中含有公因式.

五、换元法

一般地，形如 ，通过换元 （注意此时t的范围）

例5求 的值域

解：令 则

所以 =

当t=0时，y有最小值3.

于是 的值域为 .

六、分类讨论法

通过分类讨论函数定义域x的符号去求值域.

例6求 的值域

解；

因为 ，所以 ，即

当