Question

换元法求值域的具体方法

Answer 1

换元法求值域的具体方法有整体换元、三角换元、均值换元、等量换元。

1、整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4^x +2^x －2≥0，先变形为2^2x,设2^x =t（t>0），从而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

2、三角换元应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-x^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

3、均值换元，如遇到x+y=2S形式时，设x= S+t，y= S－t等等。

4、等量换元，设 x+y=3，x=t+2，y=v-3 ，多在二重积分中用到。

扩展资料：

换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。

换元法一般意义是将由一个或几个变元构成的数学表达式中的一部分用新的变元表示，以利于问题的解决.这里仅给出在解方程和解不等式中的应用。可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

参考资料来源：百度百科-换元法

Answer 2

首先，为什么我们要换元：是因为所求式子较复杂或是用换元法比较容易解决。
举个例子：求y=x+√(1-x)的值域,如果直接入手，有一定难度，但我们可以假设：
t=√(1-x),反解出：x=1-t^2,(注意：t≥0，"√"代表根号）
所以原式等价于：y=1-t^2+t=-t^2+t+1（二次函数是我们所熟悉的）,其值域为：
（-∞，5/4]。
任何数学变换都要遵循一个原则（理）：等价变换。
为什么等价：以y=x+√(1-x)为例，原式x的取值范围为：x≤1;
它是受√(1-x）所约束的，说简单点，x 的值是由√(1-x）≥0解得的，但是我们没有必要求出x的值，因为我们的目的是要求值域，而不是定义域。这样t=√(1-x)
t≥0与解得的x≤1是一个意思（t≥0等价于x≤1），接下来只需要用字母t的式子去代替用x表示的式子，原来的根号就消失了，式子变得简单了。
那为什么值又没有扩大或是缩小呢：
既然定义域都没有变，那值域怎么会变呢，我们只是用t去等量代替√(1-x），从而避免根号这个“障眼法”，而使问题变得简洁。（换元法的最终目的是使复杂式子简单化，也就是更容易看懂）
望采纳~