Question

求助高一数学题

函数y=f(x)不恒为零，且对于X1，X2的满足f(X1+X2)+f(X1-X2)=2f(X1)f（X2)求证该函数为偶函数

Answer 1

解：令x1=x2=0，则有f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0),即2f(0)=2[f(0)]^2,所以f(0)=0或f(0)=1;
若f(0)=0,则有f(x1)+f(x1)=2f(x1)f(0)=0,即f(x1)=0,这与函数y=f(x)不恒为零相悖，所以f(0)=1；
令x1=0,则有f(x2)+f(-x2)=2f(0)f(x2),即f(x2)+f(-x2)=2f(x2)，即f(-x2)=f(x2)，所以该函数为偶函数

Answer 2

令X1和X2都等于0，那么得到f(0)+f(0)=2f(0)f(0),解得f(0)=0(舍去)或1
再令x1=0,x2=x,那么得到f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)
由f(0)=1，所以f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x）
即f(x)=f(-x)
所以该函数为偶函数