Question

已知函数f(x)=e^x-e^-x/e^x+e^-x,判断f(x)的奇偶性和单调性

Answer 1

因为f(x)=e^x-e^-x/e^x+e^-x
所以f(-x)=e^-x-e^x/e^-x+e^x=-(e^x-e^-x/e^x+e^-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
在定义域内任取x1,x2,x1<x2
则f(x1)-f(x2)=(e^x1-e^-x1/e^x1+e^-x1)-(e^x2-e^-x2/e^x2+e-x2)
=[(e^x1-e^-x1)(e^x2+e^-x2)-(e^x2-e^-x2)(e^x1+e^-x1)]/(e^x1+e^-x1)(e^x2+e^-x2)=2[e^(x1-x2)-e^(x2-x1)]/(e^x1+e^-x1)(e^x2+e^-x2)
因为x1<x2,所以x1-x2<0,
所以e^(x1-x2)<1,e^(x2-x1)>1,e^(x1-x2)-e^(x2-x1)<0
又因为e^x1+e^-x1>0,e^x2+e^-x2>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
f(x)在定义域内为增函数