Question

求定积分

1、f(x)=∫（下限0，上限x）(t^3-x^3)sintdt,求f’(x);
2、求极限lim(x→0)[(√x^2+1)-1]／∫(下限0，上限x)ln(1-t)dt;
3、求极限lim(x→+∞)∫(下限0，上限x)(arctant)^2dt／(√x^2+1),(设已知分子的极限为+∞).
帮忙写一下过程

Answer 1

此题是变上限积分
f(x)=∫(t^3-x^3)sintdt=∫t^3sintdt-x^3∫sintdt
f'(x)=x^3sinx-3x^2∫sintdt-x^3sinx
f'(x)=x^3sinx+3x^2cosx-x^3sinx
=3x^2cosx

当x趋于0时，分子分母都趋于0，使用洛必达法则
=[x/根号下(x^2+1)]/ln(1-x)
=x/根号下(x^2+1)*ln(1-x)
=1/[-根号下(x^2+1)/(1-x)]
=-1
所以极限是-1

当x趋于无穷时，分子分母都趋于无穷，使用洛必达法则
=(arctanx)^2/[x/根号下(x^2+1)]
=根号下(x^2+1)*(arctanx)^2/x
因为当x趋于无穷时，根号下(x^2+1)/x的极限=1
所以上式=(arctanx)^2
x趋于无穷时，(arctanx)^2=派方/4
极限是派方/4

Answer 2

令x=sina
sina=√2/2，a=π/4
sina=1，a=π/2
√(1-x²)=cosa
dx=cosada
原式=∫cos²a/sina
da
=∫(1-sin²a)/sina
da
=∫dx/sina-∫sin²ada/sina
=∫cscadx-∫sinada
=ln|cota-csca|+cosa(π/4,π/2)
=(ln|0-1|+0)-(ln|1-√2|+√2/2)
=-ln(√2-1)-√2/2

Answer 3

Answer 4

Answer 5

1、不定积分的意思是从某一个“确定的数”，积分积到x；
2、由于这个“确定的数”，并没有具体给出，只是概念上存在而已；
3、积分之后代入x后，加上一个积分常数c，这个c就是表示积分
起点的那个“确定的数”一旦确定，c就有具体的取值。
4、由于c有各种各样的取值，c不管取什么样的值，结果都是被积
函数的原函数，这样的原函数有无数多个。
5、本题的被积函数是f(t)，也就是f(x)。由于起点是a，是一个具体
的积分起点，所以积分后的结果，只能表示是原函数中的一个。
答案：c