Question

已知函数f x =㏒a（a-a的x方）< a＞1 >，求f x 的定义域和值域。

求f(x)的值域. 因为0<a^x< ∞,所以 f(x)=(a^x-1)/(a^x 1)=1-2/(a^x 1)>1-2/(0 1)=-1, f(x)=(a^x-1)/(a^x 1)=1-2/(a^x 1)<1, 因此,f(x)的值域为(-1,1). 有人说是这样，可我不明白啊，这是怎么化简的呀，

Answer 1

解
(1)求f(x)的值域.
因为0<a^x<
∞,所以
f(x)=(a^x-1)/(a^x
1)=1-2/(a^x
1)>1-2/(0
1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x
1)=1-2/(a^x
1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).
(2)判断f(x)的奇偶性.
因为函数f(x)的定义域为(-∞,
∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)
1)=(1-a^x)/(1
a^x)
=-(a^x-1)/(a^x
1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数.
(3)讨论f(x)的单调性.
(i)当a>1时
设x1,x2是(0,
∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1
a^x1)-(1-a^x2)/(1
a^x2)
=[(1-a^x1)(1
a^x2)-(1-a^x2)(1
a^x1)]/[(1
a^x1)(1
a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1
a^x1)(1
a^x2)]>0,
所以,f(x)在(0,
∞)内单调递减.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.
因此,当a>1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递减.
(ii)当0<a<1时
设x1,x2是(0,
∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1
a^x1)-(1-a^x2)/(1
a^x2)
=[(1-a^x1)(1
a^x2)-(1-a^x2)(1
a^x1)]/[(1
a^x1)(1
a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1
a^x1)(1
a^x2)]<0,
所以,f(x)在(0,
∞)内单调递增.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.
因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递增.
综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递减.