Question

高中几何不等式 竞赛题

设点P是正三角形ABC内一点,证明:由PA,PB,PC组成的三角形的面积不超过三角形ABC的面积的三分之一

Answer 1

设PA=a,PB=b,PC=c,p=1/2(a+b+c)
所求面积为：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
（a+b+c)^3
/27≥abc
(a，b，c均为正数，当a=b=c时，取“=”）
∵
(p-a)*(p-b)*(p-c）≤[3p-(a+b+c)]^3
/27，又∵2p=a+b+c；
∴
(p-a)*(p-b)*(p-c）≤p3
/27
则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2
/3(3)^1/2
所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2
/3(3)^1/2
即：s≤（3^1/2
/36)
p2，当p-a=p-b=p-c，即，a=b=c时，取“=”s有最大值
也即由PA,PB,PC组成的三角形的面积取最大值时P点为正三角形的内心（三心合一）
设正三角形边长为1，则容易求得PA=√3/3,
边长比是1/√3，则面积比是1/3。得证