Question

一道高中竞赛几何题雅可比定理

一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O，AC,BD交于G，AB,CD交于E，AD,BC交于F，M是完全四边形ABCD密克点，ABCD共圆O，AC,BD交于G，AB,CD交于E，AD,BC交于F，M是完全四边形ABCD密克点，为什么GM垂直于EF？？

Answer 1

先来说明几个相关的结论：
1. 四边形ABCD的密克点在EF上
（∠EMC+∠FMC=∠CBA+∠CDA=180°）
2. EF²=点E关于圆O的幂+点F关于圆O的幂，即EF²=（EO²-r²）+（FO²-r²）
（EF²=EF×（EM+FM）=EM×EF+FM×FE=EC×ED+FC×FB）
3. EG²=点E关于圆O的幂+点G关于圆O的幂，即EG²=（EO²-r²）+（GO²-r²）
（延长EG至点K，使得EG×GK=AG×GC①
则E，C，K，A四点共圆
则∠EKC=∠EAC=∠BDC
从而C，D，K，G四点共圆
EG×EK=EC×ED②
②减①得EG²=EC×ED-AG×GC）

下面证明GM⊥EF
只要证明EG²-FG²=EM²-FM²
而EG²-FG²=（点E关于圆O的幂+点G关于圆O的幂）-（点F关于圆O的幂+点G关于圆O的幂）=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂
EM²-FM²=（EM×EF/EF）²-（FM×FE/FE）²=（EC×ED/EF）²-（FC×FB/EF）²=1/EF²（点E关于圆O的幂²-点F关于圆O的幂²）=1/EF²（点E关于圆O的幂+点F关于圆O的幂）×（点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂）=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂
即EG²-FG²=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂=EM²-FM²
得证