Question

已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R). (Ⅰ)若...

已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R). (Ⅰ)若x=1为f(x)的极值点,求a的值; (Ⅱ)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值; (Ⅲ)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)∵f′(x)=x2-2ax+(a2-1)
∵x=1为f(x)的极值点,
∴f′(1)=0,即a2-2a=0,
∴a=0或2;
(II)∵(1,f(1))是切点,
∴1+f(1)-3=0∴f(1)=2
即a2-a+b-
8
3
=0
∵切线方程x+y-3=0的斜率为-1,
∴f'(1)=-1,即a2-2a+1=0,
∴a=1,b=
8
3
∵f(x)=
1
3
x3-x2+
8
3
∴f'(x)=x2-2x,可知x=0和x=2是y=f(x)的两个极值点.
∵f(0)=
8
3
,f(2)=
4
3
,f(-2)=-4,f(4)=8
∴y=f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8.
(Ⅲ)因为函数f(x)在区间配迟(-1,1)不单调,所以函数f′(x)在(-1,1)上存在零点.
而f'(x)=0的两根为a-1,a+1,相距2,
∴在区间(-1,1)上不可能有2个零点.
所以f′(-1)f′(1)
0
0
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