Question

高等数学无穷级数问题？

画线的部分看不懂怎么来的

Answer 1

这个是比较审敛法，首先要找到比较的级数，这里用到了一个不等式，x＞0时，sinx＜x，可以用函数来证明，设f(x)＝sinx－x，导数f'(x)＝cosx－1≤0，也就是函数总是单调递减的，那么x＞0时，f(x)＜f(0)＝0，也就是sinx－x＜0，也就是sinx＜x。实际上y＝x是函数y＝sinx在x＝0时的切线

有了x＞0，sinx＜x这个不等式，就可以把原来级数的一般项转化为等比级数的一般项，而等比级数的敛散性我们是知道的，公比q＜1时级数收敛，而转化为的这个级数的公比是2/3＜1，也就是一个收敛的等比级数，所以根据比较审敛法，原级数小于一个收敛级数，原级数是收敛的。

Answer 2

这个问题其实用画图的方法是可以解决而且十分易懂，画出y=x和y=sinx这两个函数的图形，你会发现，在趋于无穷的时候y=x是在y=sinx上方的而且sinx是在0和y=x之间来回波动的，所以就得到了你划线部分的结论。

Answer 3

这个用到了一个常用的函数关系
在x>0时，x>sinx
也就是sin（1/3^n）<1/3^n
由于sin（1/3^n）在n增大时无限趋近于0，且2^n>0，两边同乘以2^n，等式关系不变，因此
0<=2^n*sin（1/3^n）<2^n*1/3^n
容易得出
2^n*1/3^n=（2/3）^n
于是得到了图中的关系式

Answer 4

左边大于等于0应该不用说吧，右边的是因为当x>0时，sinx<x

Answer 5

x-->0+时，x>sinx，画个图看就很清楚了。