Question

设3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,a1,a2,a3依次对应的特征向量设方阵B=...

设3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,a1,a2,a3依次对应的特征向量设方阵B=A*-2A+3I,求B^-1的特征值及det(B^-1 请帮我回答,

Answer 1

因为3阶矩阵A的特征值为1,2,-3
所以
|A|
=
1*2*(-3)
=
-6.
若λ是A的特征值,a是A的属于λ的特征向量,则
Aa
=
λa
两边左乘A*,得
λA*a
=
A*Aa
=
|A|
a
所以当
λ≠0
时,A*a
=
(|A|/λ)a
所以
Ba
=
A*a
-2Aa+3a
=
(|A|/λ-2λ+3)a
所以B的特征值为:|A|/λ-2λ+3.
再由A的特征值为1,2,-3,|A|=-6
得B的特征值为
-5,-4,11.
所以
|B|
=
(-5)*(-4)*11
=
220.