Question

为什么这个积分是偶函数 ，是因为本质是个函数，且上限是x^2吗？

第一个问题：为什么这个积分是偶函数？是因为本质是个函数，且上限是x^2吗？第二个问题：为什么知道是偶函数后，第一步是把上限变成正无穷

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Answer 1

f(x) = ∫(0->x^2) (2-t). e^(-t) dt
f'(x) =2x.(2-x^2) .e^(-x^2)
f'(x) =0

2x.(2-x^2) .e^(-x^2) =0
x=0 or √2 or -√2
f''(x)
=2[(2-x^2) - 2x^2 - 2x^2.(2-x^2) ].e^(-x^2)
f''(0) = 4 >0 (min)
f''(√2) =-8e^(-2) <0 (max)
f''(-√2) =-8e^(-2) <0 (max)
min f(x) = f(0) =0
max f(x)
=f(√2)
=f(-√2)
= ∫(0->2) (2-t). e^(-t) dt
=- ∫(0->2) (2-t) de^(-t)
=-[(2-t) e^(-t)]|(0->2) -∫(0->2) e^(-t) dt
= 2 +[e^(-t)]|(0->2)
=1+ e^(-2)

追问

可以解答一下2个问题吗谢谢，

追答

f(x) = ∫(0->x^2) (2-t). e^(-t) dt
f(-x) =∫(0->(-x)^2) (2-t). e^(-t) dt =∫(0->x^2) (2-t). e^(-t) dt = f(x)
f 偶函数

Answer 2